[NOIP2001 普及组] 数的计算

题目描述

给出正整数 $n$，要求按如下方式构造数列：

  1. 只有一个数字 $n$ 的数列是一个合法的数列。
  2. 在一个合法的数列的末尾加入一个正整数，但是这个正整数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 $a, b$ 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 $i \leq |a|$，使得 $a_i \neq b_i$。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 $n$。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

样例 #1

样例输入 #1

1
6

样例输出 #1

1
6

提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：

  • $6$
  • $6, 1$
  • $6, 2$
  • $6, 3$
  • $6, 2, 1$
  • $6, 3, 1$

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1 \leq n \leq 10^3$。

说明

本题数据来源是 NOIP 2001 普及组第一题，但是原题的题面描述和数据不符，故对题面进行了修改，使之符合数据。原题面如下，谨供参考：

我们要求找出具有下列性质数的个数（包含输入的正整数 $n$）。

先输入一个正整数 $n$（$n \le 1000$），然后对此正整数按照如下方法进行处理：

  1. 不作任何处理；
  2. 在它的左边拼接一个正整数，但该正整数不能超过原数，或者是上一个被拼接的数的一半；
  3. 加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加正整数为止。

解题思路

主要思路

img
上图为对应位置满足的解的个数，可以找出各数之间的规律，利用递归（效率低）和迭代的方法写出

完整代码

迭代

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#include<stdio.h>
#define N 10000
int operate(int n);
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%d",operate(n));
    return 0;
}
int operate(int n)
{
    int a[N]={0,1};
    int i,j;
    for(i=2;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=i/2;j++){
            a[i]=a[i]+a[j];

        }
        a[i]++;
    }
    return a[n];
}

递归

主函数与上述相同

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int operate(int n)
{
    if(n==1){
        return 1;
    }
    else if(n==2){
        return 2;
    }
    else if(n%2==1){
        return operate(n-1);
    }
    else{
        return operate(n-1)+operate(n/2);
    }
}